课程号:00130190
课程名称:微分流形
开课学期:春
学分: 3
先修课程:数学分析,高等代数,拓扑学
基本目的:通过课程学习,了解来自古典数学及物理学的微分流形例子,掌握流形上的微积分的基本理论框架和技术。
内容提要:打 (*) 号的部分为选讲内容,如果课时紧张可能不会讲。
一、微分流形的基本概念和例子
微分流形的定义,球面、射影空间、古典李群、齐性空间、Riemann 流形、复流形等例子,光滑映射,浸入与淹没,光滑子流形,单位分解定理。
二、向量场
切空间、余切空间,向量场,光滑流形的定向,单参数变换群,Frobenius 定理,切向量场的李导数,李群及其李代数的基本概念,微分流形上的联络、平行移动和协变微分,Riemann 流形的 Levi-Civita 联络,测地线,(*) 联络的挠率和曲率。
三、外微分形式
张量代数,外代数,外微分形式,外微分运算,用 Pfaff 方程组表达的 Frobenius 定理,李群的结构方程,De Rham 理论简介,体积形式,外微分形式的第一型和第二型积分,Stokes 定理,(*) Poincare 对偶定理,(*) Hodge 理论简介。
四、向量丛和主丛的联络
向量丛,(*) 主丛,向量丛上的联络,(*) 主丛上的联络,(*) 联络的曲率张量,(*) 关于示性类的 Chern-Weil 理论简介。
教学方式:每周授课3学时
教材与参考书:
- 陈省身、陈维桓著:微分几何讲义,williamhill体育在线平台出版社。
- 陈维桓著:微分流形初步(第二版),高等教育出版社。
- 白正国、沈一兵、水乃翔著:黎曼几何初步(前两章),高等教育出版社。
- 梅加强著:流形与几何初步(前三章),科学出版社。
- M. Spivak著,齐民友、路见可译:流形上的微积分(双语版),人民邮电出版社。
- B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko, S. P. Novikov: Modern Geometry - Methods and Applications, Part I. The Geometry of Surfaces, Transformation Groups, and Fields,Springer.
学生成绩评定方法:作业成绩+期末考试成绩。
课程修订负责人:包志强