课程号:00132310
课程名称:微分几何
开课学期:秋
学分: 3
先修课程:数学分析、高等代数、常微分方程。
基本目的:学习和掌握空间曲线和曲面论的基本知识,培养学生的几何直观能力,以及应用分析、代数等工具来研究、解决几何问题的能力。期待学生对局部坐标、度量和曲率概念有丰富而准确的理解,为学习微分流形、黎曼几何等课程打好基础。
内容提要:
第一章:预备知识 (约2学时)
R3中的几何结构:平面反射,旋转群,平移群,刚体运动群。R3中的代数结构:内积,外积。
第二章:曲线论 (约6学时)
1)正则参数曲线,可容许参数变换,曲线的切线,曲线的定向,弧长公式和弧长参数。
2)曲线的曲率,曲线的单位切向量,主法向量,次法向量,Frenet标架。
3)曲线的挠率,Frenet公式,一般参数下曲率、挠率和Frenet公式的计算。
4)曲线在一点处的近似曲线,切触阶。
5)曲线论基本定理及其证明。
6)平面曲线的相对曲率,平面曲线的等周不等式,旋转指标定理。
第三章:曲面的第一基本形式(约8学时)
1)正则参数曲面,可容许的参数变换,曲面的定向。
2)曲面的切平面,切向量,法线,单位法向量,自然标架。
3)曲面的第一基本形式,切向量的长度和夹角,曲面的面积。
4)曲面上的向量场,曲面上的参数曲线网。
5)曲面间的可微映射,可微映射诱导的切映射,曲面间保长对应、保角对应。
6)可展曲面的例子,直纹面可展的条件,可展面的分类,可展面和平面的保长对应。
第四章:曲面的第二基本形式(约12学时)
1)曲面的第二基本形式,平面和球面的特征。
2)曲面上沿切方向的法曲率,渐近方向。
3)Gauss映射,Weingarten算子,主曲率和主方向,法曲率的Euler公式,曲率线。
4)主曲率和主方向的计算,平均曲率和Gauss曲率。
5)曲面在一点处的近似曲面,Dupin标形。
6)常Gauss曲率曲面,常中曲率曲面,极小曲面。
第五章:曲面论基本定理(约8学时)
1)曲面的Gauss方程,Weingarten方程,Christoffel符号。
2)一阶偏微分方程的可积性条件,曲面不变量的Gauss方程,Codazzi方程。
3)曲面论基本定理:存在性和唯一性。
4)Gauss绝妙定理:Gauss曲率在保持度量(第一基本形式)的变换下不变。Gauss曲率为零的曲面一定是可展面。
第六章:测地曲率和测地线(约10学时)
1)曲面上的曲线,测地曲率,测地挠率,测地曲率的Liouville公式。
2)测地线,测地线的微分方程,弧长的第一变分,测地线作为长度泛函的临界曲线。
3)测地平行坐标系,测地极坐标系,常曲率曲面的第一基本形式。
4)Gauss-Bonnet公式,证明和应用。
教学方式:每周授课3学时
教材与参考书:
1)陈维桓:微分几何初步,williamhill体育在线平台出版社。
2)Do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall出版社。
3) 苏步青,胡和生等:微分几何,高等教育出版社。
学生成绩评定方法:平时成绩20%,期中考试30%,期末考试50%。
课程修订负责人:马翔