课程号:00132361,00132362,00132363
课程名称:数学分析(I, II, III)(实验班)
开课学期:秋季开始(三学期)
学分: 5+5+4
先修课程:无
基本目的: 本课程是数学类各专业最重要的基础课之一。基本内容包括极限论、微分学、积分学、级数理论。本课程是许多后继课程如微分方程、微分几何、复变函数、实变函数、概率论、基础物理、理论力学等学习的基础。数学分析同时也是大学数学的基本能力及思维方法的训练重要课程。具有良好的数学分析的基础对于今后的学习和研究起着关键的作用。
内容提要: 第一部分 一元微积分学
一.函数:实数理论简介,确界存在定理,函数概念与基本性质,初等函数;二.序列极限:定义,无穷小量无穷大量,性质,单调有界序列,实数系连续性的基本定理,Cauchy收敛准则,序列的上、下极限;三.函数的极限与连续性:定义与推广,性质,数列极限与函数极限关系,函数极限存在性定理及两个重要极限,函数连续与间断,连续函数基本性质与初等函数连续性,闭区间连续函数性质,一致连续函数,无穷小量与无穷大量的阶;四.导数和微分:导数引入与定义,单侧导数,求导方法,微分定义与一阶微分形式不变性,高阶导数与高阶微分;五.导数的应用:微分中值定理,del′Hospitale法则,Taylor公式,利用导数研究函数;六.不定积分:原函数,不定积分,第一与第二换元法,分部积分法,常见函数不定积分,有理函数积分;七.定积分:定积分概念与微积分基本定理,定积分几何意义,可积的必要条件,Daboux理论与可积函数类,定积分的性质,变限积分,定积分的计算,换元法、分部积分法,定积分第一、二中值定理,定积分的几何应用与简单物理应用,曲线的曲率
第二部分 多元微积分
一.
中的点集拓扑初步,连续函数:
中的点集拓扑初步;多元函数的极限与连续性;二.多元函数微分学:偏导数,全微分,微分的几何意义,高阶偏导数,隐函数求导,方向导数与梯度,Taylor公式,向量函数求导;三.隐函数定理:隐函数定理,逆变换定理;四.多元函数的极值问题:普通极值问题,条件极值问题,Lagrange乘子法,最小二乘法;五.重积分:定义,存在性与性质,计算:化为累次积分与重积分的变量替换,广义重积分,余面积公式;六.曲线积分, 曲面积分与场论初步:第一型与第二型曲线积分,第一型与第二型曲面积分;Green公式,Gauss公式,Stokes公式,曲线积分与路径无关,微分流形初步:微分形式,外微分,微分形式的拉回,微分流形,微分流形上微分形式的积分,Stokes公式,等周不等式简介
第三部分 级数理论
一.数项级数:数项级数的概念;Cauchy 准则;条件收敛与绝对收敛性;正项级数收敛的基本判别法;任意级数收敛的基本判别法; 数项级数的性质(交换律;结合律;分配律);无穷乘积;重级数和累次级数简介;二.函数序列与函数级数:函数数列与级数研究的基本问题; 一致收敛性的定义; 一致收敛的Cauchy准则及其判别法;一致收敛性的极限函数的性质;三.幂级数:幂级数的收敛半径与收敛域;幂级数的性质;初等函数的幂级数展开;求Taylor展式的方法; Weierstrass逼近定理及其他逼近定理;幂级数的应用;四.Fourier级数:基本三角函数系; 周期函数Fourier级数; Fourier级数的点收敛;Dirichlet 积分与收敛的判别法; Fourier级数的均方收敛,Parseval等式;一致收敛;五.Fourier分析初步:波方程和热方程简介;核的概念;Fourier级数的应用;六.调和函数和Laplace方程初步:平均值不等式;极大值原理;Harnack不等式;Green函数;Poisson积分;Dirichlet问题
教学方式:课堂讲授
教材与参考书: 1.伍胜健, 数学分析(I, II, III), williamhill体育在线平台出版社
2.方企勤等, 数学分析(1,2,3), 高等教育出版社
3.彭立中,谭小江, 数学分析(1,2,3),高等教育出版社。
4.卓里奇:数学分析(一,二),高等教育出版社
5.Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2003). Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press. ISBN 069111384X。
学生成绩评定方法:作业10-15%,期中考试35-40%,期末考试50%。
课程修订负责人:周斌