课程号:00137970
课程名称:实变函数(实验班)
开课学期:秋
学分:3
先修课程:数学分析
基本目的: 以Lebesgue测度与Lebesgue积分理论为基本内容,结合在这些内容在分析,几何,方程等其他方面的应用,为学生提供近代分析的基础知识和基本训练,提高分析论证能力。
内容提要:
1. 集合与欧氏空间的点集(4课时)
1) 集合,集合列的(上、下)极限集
2) 集合的基数,可数集,连续基数
3) 欧氏空间 ,Borel集,Cantor集,Baire纲定理
2. Lebesgue测度(6课时)
1) Lebesgue外测度
2) 可测集及其性质
3) 可测集与Borel集的关系,sigma代数
4) 不可测集介绍
3. 可测函数与可测函数列的收敛(8课时)
1) 可测函数及其运算
2) 几乎处处收敛与依测度收敛,
3) Littlewood三原理,Egoroff定理,Lusin定理
4) Brunn-Minkowski不等式
4. Lebesgue积分(10课时)
1) 非负可测函数的积分,Levi引理,Fatou引理
2)一般可测函数的积分,积分的绝对连续性,Lebesgue控制收敛定理,积分平均连续性
3) Lebesgue积分与Riemann积分的关系,Riemann 可积函数的充分必要条件
4) 重积分与累次积分,Fubini定理和Tonelli定理及应用
5) Fourier反演公式,L2函数的Fourier 变换
5. 微分与积分的关系(10课时)
1) 单调函数几乎处处可微
2) Hardy-Littlewood极大函数,Lebesgue微分定理,恒等逼近
3) 有界变差函数
4) 变上限积分,绝对连续函数,微积分基本定理
5) Rademacher微分定理
6. Lp 空间(10课时)
1) Lp 空间,Holder不等式,Minkowski不等式
2) Lp空间中的收敛与完备性,可分性,平均连续性
3) Lp空间的对偶
4) L2 空间的内积,正交系与广义Fourier级数,Bessel不等式与Paseval等式
5) 可求长曲线和等周不等式
教学方式:每周授课3学时
教材与参考书:
周民强:实变函数论,williamhill体育在线平台出版社,2008年5月
徐森林:实变函数论,中国科技大学出版社,2002年2月
学生成绩评定方法:考试加平时成绩(作业20%+期中考试30%+期末考试50%)。
课程修订负责人:周斌