课程号:00132323
课程名称:高等代数II
开课学期:春
学分: 4
先修课程:高等代数I,解析几何。
基本目的:通过一元多项式的因式分解理论,讨论并建立了复矩阵的Jordan标准型理论;最后介绍抽象的线性空间,线性变换和双线性函数,利用集合论和几何直观重新表述并证明线性代数中的基本定理。
内容提要:下面打*部分为选学内容
一、一元多项式环(14学时)
欧几里得算法判断多项式的整除,求最大公因式, 多项式的因式分解的存在唯一性; 复数域,实数域上的不可约多项式与代数学基本定理,有理数上的因式分解(Gauss引理,Eisenstein判别法)多项式方程的根与系数的关系,判别式的推广与它的计算--多元对称多项式的表示。
二、多项式环的矩阵环与矩阵的相似标准型(12学时)
Cayley-Hamilton定理,矩阵的极小多项式,多项式矩阵的相抵标准型的存在唯一证明(可逆多项式矩阵,初等多项式矩阵),矩阵相似的判别法,矩阵的极小多项式,矩阵的特征矩阵的相抵标准型与矩阵的相似标准型,复数域上的矩阵的Jordan标准型。
三、线性空间(6学时)
抽象线性空间的定义,向量空间中的研究内容的移植,这种推广的必要性,选定基后, 线性空间与向量空间的同构性。
四、线性变换和复线性变换的Jordan分解(16学时)
线性变换的定义,运算和结构; 选定基后,线性变换空间(环)与矩阵空间(环)的对应,线性变换的不变子空间直和分解与矩阵的分块相似,线性变换的特征值,特征向量,特征多项式,最小多项式;线性变换的特征(最小)多项式的因式分解与线性变换的不变子空间的直和分解; 幂零线性变换的Jordan分解,复数域上的线性变换的Jordan标准型。
五、线性空间的对偶空间与线性空间的双线性函数(8学时)
六、带度量的空间(8学时)
欧氏空间和它的线性变换,实线性映射的奇异值分解,双曲空间,实度量空间的Witt分解定理,一般度量空间的Witt分解定理,辛空间。
教学方式:每2周授课4+1学时
教材与参考书:
1.williamhill体育在线平台数学力学系几何与代数教研室代数小组:高等代数,高等教育出版社,1984(第6次印刷)。
2.蓝以中:高等代数简明教程(上、下册),williamhill体育在线平台出版社,2003(第2次印刷)。
3.丘维声:高等代数(第二版)下册,高等教育出版社,2002年。
学生成绩评定方法:作业10-15%,期中考试30-45%,期末考试40-60%。
课程修订负责人:田青春